A kvantummechanika méréselméleti dogmái szerint méréskor "fölfüggesztődik" a vizsgált részrendszer unitér időfejlődése, és a részrendszer a mért mennyiség sajátállapotába (szelektív mérés), avagy az általa generált abeli részalgebrájába (nem-szelektiv mérés) "ugrik". Ezek az "ugrások" teljesen pozitív leképezések a részrendszeren, melyek egy-egy értelmű kapcsolatban vannak egy nagyobb rendszer unitér leképezéseinek a vizsgált részrendszerre történő megszorításával. Ezért fölmerül a kérdés: lehet-e egy nem-szelektív mérés "eredménye" dinamikai folyamat, azaz teljesen pozitív leképezések időparaméterezett félcsoportjának hatására időben aszimptotikusan előálló állapot? A szemináriumon Weinberg konstruktív igenlő válaszát és a szükséges fogalmakat, korábbi eredményeket ismertetjük.

Irodalom:
Weinberg írása

Cytotoxic T lymphocytes and natural killer cells are the main cytotoxic killer cells of the human body to eliminate pathogen-infected or tumorigenic cells. Various processes are involved in a successful killing event: activation of the killer cell, migration and search for the target, formation of a synapse and polarization upon contact with the target, transport of cytotoxic agents towards the synapse, and finally elimination of the target via necrosis or apoptosis. In this talk I will review various biophysical aspects of killing that we studied in collaboration with immunologists.
Topics include the analysis of search strategies of migrating killer cells; the efficiency of the spatial organization of the cytoskeleton for search problems occurring in intra-cellular cargo transport; the analysis of different killing strategies inducing necrosis or apoptosis; the modulation of the intracellular calcium homoeostasis by mitochondria relocation towards the synapse; and the mechanistic understanding of the molecular motor driven cytoskeleton rotation towards the synapse during polarization.

A kónikus keresztezôdéseken, vagy másképpen nevezve elektronikus degeneranciákon keresztül lejátszódó dinamikai folyamatok a számos elektronállapot és magrezgések erôs csatolódása miatt eredendôen nemadiabatikusak. A keresztezôdések helyén a nemadiabatikus csatolás szingulárissá válik, ami számos statikai és dinamikai hatás megjelenését váltja ki. Ilyen például a topológiai Longuet Higgins- vagy más néven a Berry-fázis megjelenése is. Ilyen keresztezôdések lézerfény segítségével is létrehozhatók, akár álló, akár pedig haladó lézerhullámokkal. Megjelenésük egy új, fizikailag érdekes lézer-anyag kölcsönhatás kialakulásához vezet, amelynek hatására jelentôsen megváltoznak és szabályozhatóvá válnak a kialakuló dinamikai folyamatok.

Az inverz kvantum szórás elmélete egyértelmű kapcsolatot létesít a szórásadatok (pl. fázistolás-sorozat) és a szórást létrehozó kvantum-mechanikai potenciál között. A szórás (vagy spektrál) adat az input mennyiség, a potenciál az output termék. Az elmélet ezen ok-okozati kapcsolat megfordítását szigorú matematikai eszközök használata révén éri el (így pl. paraméter-illesztés, vagy minimalizálás nem tartozik az eszköztárba). Az előadásban áttekintjük az inverz szórás elmélet fejlődését és alkalmazásainak körét. Tárgyaljuk a jól ismert fix impulzus-momentum (Gelfand-Levitan-Marchenko) és fix energia (Newton-Sabatier) melletti inverz szórást, valamint egy új fix-energiás módszert, amely az előzők egyesítésének tekinthető véges hatótávolságú potenciálok meghatározására.

A sötét anyag csillagászati megnyilvánulásainak rövid számbavétele után áttekintem a jelenleg legelterjedtebben vizsgált potenciális összetevői kutatásának helyzetét. Elemzem, hogyan újult meg a gravitációs hullám létezésének felfedezése nyomán a sötét makroszkopikus kompakt objektumok utáni érdeklődés. A részecskefizikai jelöltek közül a Nagytömegű Gyengén Kölcsönható Részecskék (WIMP) és az Axionszerű Könnyű Részecskék (ALP) kutatásának elméleti hátterét és aktuális helyzetét mutatom be.

2016-ban a fizikai Nobel-díjat DJ Thouless, FDJ Haldane és JM Kosterlitz kapták, "a topologikus fázisátalakulások és a topologikus fázisok elméleti felfedezéséért". Az előadásban áttekintjük a Nobel-díjjal jutalmazott, 1970-es és 1980-as évekből származó eredményeket. Megmutatjuk, hogy miért voltak ezek meglepőek, hogyan építettek ezekre a 2000-es években kivirágzott topologikus szigetelők elméletében, és hogyan vezethet ez az út a kvantumszámítógép megalkotásához.

A harmonikus oszcillátor kvantált amplitúdójára (amely pl. egy fotonmódust is leírhat) nemrég egy új polárfelbontást (exponenciális fázisoperátort), s ennek alapján egy új, „reguláris fázisoperátort” (kvantum szögváltozót) vezettünk be Fourier-korrespodenciával [1]. Meghatároztuk az exponenciális fázisoperátor sajátállapotait is, amelyekről kiderült, hogy a komplex egységkörlap belsejében paraméterezett SU(1,1) koherens állapotok Holstein-Primakoff-típusú realizációi. E formalizmus keretében a sugárzási tér kvantumos fáziseloszlásai [1], valamint a fotonszám-fázis Weyl-korrespondencia, és a Wigner-függvények is természetes módon definiálhatók [2].
Az előadásban, a fenti előzmények ismertetése után, a reguláris fázisoperátor időfejlődését elemezzük, és bebizonyítjuk, hogy a teljes fizikai fázis periodikus, amelyről megmutatjuk, hogy két nemkorlátos tag összege [3]. Egyrészt az oszcillátor (triviális) dinamikai fáziscsökkenése egy lineáris negatív járulékot ad, másrészt ehhez adódik még egy lépcsőszerűen növekvő rész is (lásd az 1. ábrát). Az utóbbi egy pozitív operátorértékű Haar-integrál a Blaschke-csoporton (amely az SU(1,1) csoport egy speciális paraméterezése; esetünkben az egységkörlap belsejének és a valós egyenesnek a Descartes-szorzata). Nagy gerjesztettség esetén a teljes fázisoperátor koherens fázisállapotokon vett várható értéke a fűrészfog-függvényt közelíti, amely viselkedés összhangban van az oszcillátor periodikus fázisváltozásáról alkotott klasszikus képpel.

Figure 1. Shows the time evolution of the expectation value in a regular phase state (with mean photon number 200) of components of the regular phase operator (the reference phase has been taken -Pi). The straight line with tangent -1 is the usual classical time dependence of a harmonic oscillator in phase space (clock-wise rotation in the q-p plane), which has a sharp value, also for all quantum states of the oscillator. The step-like curve (with 2Pi jumps) illustrates the gradual increase of the Blaschke contribution. The constant values at the plateaus are exactly integer multiples of 2Pi, they are also sharp values for any oscillator state. The 2Pi accumulations come from the invariant Haar integral of the positive operator-valued measure on the Blasche group. The sum of these two contributions gives the periodic saw-tooth-like function, i.e. the complete physical phase. For larger mean photon numbers this latter curve approaches the ideal saw-tooth function.


References
[1] Varró S, Regular phase operator and SU(1,1) coherent states of the harmonic oscillator. Physica Scripta 90 (2015) 074053 (18pp) [Special Issue dedicated to the 150 years of Margarita and Vladimir Man’ko]. E-print: arXiv:1412.3218v2.

[2] Varró S, Regular phase operator and a new number-phase Weyl-Wigner correspondence for the photon. Talk No. 53 at CEWQO-2015 [22nd Central European Workshop on Quantum Optics 6-10 July 2015, Warsaw, Poland]. Varró S, Regular number-phase Wigner function of a photon mode. Invited talk S7.3.1. presented at Seminar 7: Quantum information and quantum computation, of LPHYS’15 [24th International Laser Physics Workshop, 21-25 August 2015., Shanghai, P R China].

[3] Varró S, Regular phase operator of the photon as a Haar integral on the Blaschke group. Invited talk. 4th Work Meeting on Quantum Optics & Information [Regional Centre of the Hungarian Academy of Sciences at Pécs, 6-7 May 2016., Pécs, Hungary]. Varró S, The quantum phase of the photon as a Haar integral on the Blaschke group. Invited Talk S7.3.2 presented at Seminar 7: Quantum information and quantum computation, of LPHYS’16 [25th International Laser Physics Workshop, 11-15 July 2016., Yerevan, Armenia].

Atomi rendszerek lézerimpulzusokkal történő kölcsönhatása esetén a magasrendű harmonikuskeltés (HHG) és a küszöbfeletti ionizáció (ATI) jól ismert jelenségek. Ezek elméleti és kísérleti vizsgálatát mindezidáig (a folyamat kezdetén) alapállapotban lévő atomokra korlátozták. Viszont új izgalmas effektusok lépnek fel, ha szuperpozíciós kezdőállapotot feltételezünk (pl.: 2s-3p), ugyanis kimutattam, hogy lézerterekkel kölcsönható atomi szuperpozíciós állapotok erős koherenciajelenségeket mutatnak [1]. Megfigyeltem, hogy az állapotok közti relatív fázis alkalmas megváltoztatása akár háromszorosára is emelheti az ionizációs valószínűséget. A kérdéskör tanulmányozásának legfőbb eszközéül az időfüggő Schördinger egyenlet (TDSE) numerikus integrálása szolgált.
A másik munkámban a hidrogénatom alapállapoti fotoionizációja során emittált elektronok impulzuseloszlását vizsgáltam egy szemiklasszikus Monte Carlo módszerrel (SCMC), melynek eredményei jó egyezést mutatnak a kvantummechanikai modellel [2]. Megvizsgáltam, hogy az eloszlás különböző interferencia maximumaihoz milyen tipikus kezdőfeltételű elektronpályák tartoznak az SCMC módszer által nyújtott klasszikus képben. A szemléletes kvantum-klasszikus megfeleltetésen túl nagy előnye még az SCMC módszernek, hogy viszonylag könnyen átvihető nem-triviális geometriájú rendszerekre is.
A TDSE és SCMC módszerek vizsgálata és megfeleltetésük (a fenti alapkutatási felfedezéseken túl) megfelelő előtanulmányt jelentett plazmonikus nanostruktúrákról történő fotoemisszió [3] kvantummechanikai modellezéséhez is, amely jelenlegi kutatásaim fókuszát jelentik.


Referenciák:

[1] V. Ayadi, M. G. Benedict, P. Dombi, P. Földi, Atomic coherence effects in few-cycle pulse induced ionization, Europen Physics Journal D, bírálat alatt, arXiv: 1604.03437 (2016).
[2] V. Ayadi, P. Földi, P. Dombi, K. Tőkési, Correlations between the final momenta of electrons and their initial phase-space distribution in the process of tunnel ionization, Journal of Physics B, bírálat alatt, arXiv: 1604.04507 (2016).
[3] I. Márton, V. Ayadi, P. Rácz, T. Stefaniuk, P. Wróbel, P. Földi, P. Dombi, Ultrafast Plasmonic Electron Emission from Ag Nanolayers with Different Roughness, Plasmonics, nyomdában (2016).

A centrális konfigurációk nagy szerepet játszanak az n-test problémával kapcsolatos kutatásokban. Centrális konfiguráció esetén az egyes testekre ható eredő erő mindig a rendszer tömegközéppontján megy keresztül, és a testek önhasonló konfigurációjú mozgást végeznek. A háromtestprobléma centrális konfigurációi az Euler-Lagrange-megoldások. n>3-ra a probléma megoldatlan, eddig csak részeredmények születtek. A közelmúltban azonban sikerült a négytestprobléma egy tengelyszimmetrikus esetére olyan analitikus megoldást találnunk, amely megadja a probléma összes megoldását. Az előadás bemutatja a megoldáshoz vezető utat, a deltoid-alakú (sárkány) konfigurációk sokszínű világát, és ezek kapcsolatát a Lagrange-megoldásokkal.

Az egydimenziós kvantum Ising modell dinamikáját vizsgálom zéró hőmérsékleten, véletlenszerűen változó külső tér mellett. Megmutatjuk hogy a modell dinamikája szoros kapcsolatban van egy egydimeziós, folytonos idejű kvantumos bolyongással, amelynek az átmeneti valószínűségei véletlenszerű időfüggéssel bírnak. A külső zaj dekoherenciát okoz a rendszerben, a hullámcsomag álltalában diffúzív módon szélesedik ki. Következményként a kvantum Ising lánc átlagos összefonódási entrópiája t^{1/2}-el arányosan nő, és az átlagos mágnesezettség logaritmusa is hasonló jellegű viselkedést mutat. Ha a külső zaj kétféle értéket vehet fel, és az értéke \tau időközönként változhat meg, akkor bizonyos \tau értékeknél létrejönnek koherens, ballisztikusan mozgó hullámcsomagok, aminek következtében az összefonódási entrópia és az átlagos mágnesezettség logaritmusa is t^{3/4}-es viselkedést mutat. [G. Roósz, R. Juhász, F. Iglói Phys. Rev. B 93, 134305 (2016)]

Az attoszekundumos fizikában, különösen a pumpa-próba kísérletek eredményeinek értelmezéséhez, elengedhetetlen az alagutazásos ionizáció dinamikájának pontos elméleti ismerete. A probléma természetéből adódóan, ehhez pontos numerikus szimulációkra is szükség van. Az előadás keretében bemutatunk egy újszerű és hatékony numerikus algoritmust a 3D forgásszimmetrikus időfüggő Schrödinger-egyenlet megoldására, amely szinguláris Coulomb potenciált is tartalmaz. A problémát hengerkoordinátákban tárgyaljuk és formalizmusunk kimondottan alkalmas lézer-atom kölcsönhatás tárgyalására (dipólközelítéssel és ún. hossz-mértékben). Negyedrendű véges differencia közelítést használunk valós térkoordinátákban, és a Coulomb szingularitásokat a megfelelő Neumann és Robin peremfeltételek diszkretizációjával kezeljük. Időfejlesztő algoritmusunk a Crank-Nicolson és a split-operator módszereket használja, amelyet továbbfeljesztettünk negyedrendű időlépésbeli pontosságot is elérve. Alkalmazásként intenzív lézertér hatására alagutazásos ionizációval kiszabaduló atomi elektron dinamikáját elemezzük.

Előadásom során bemutatom az önhasonló Ansatz-ot amelynek használata egy erős és célravezető módszer gyakorlatilag mindenféle nem-lineáris parciális differenciálegyenlet analízisében. Az Ansatz teljesítőképességét egy áramlástani és egy nemlineáris elektrodinamikai példán mutatom meg.

A hosszú hatótávolságú (azaz a távolság negatív hatványával csökkenő erősségű) kölcsönhatást feltételező sokrészecske-rendszerek fázisátalakulási jellemzői eltérőek lehetnek a rövid hatótávolságú rendszerekéitől. Hasonlóan, a térbeli inhomogenitás (rendezetlenség) jelenléte is eltérést okozhat a homogén rendszerek viselkedéséhez képest. Az előadásban áttekintjük az inhomogén és hosszú hatótávolságú spinmodellek fázisátalakulásainak jellegzetességeit. Ezt követően, ezen két tényező együttes hatását vizsgáljuk meg egy konkrét modell, a merőleges terű Ising-modell alapállapotában. Ismertetünk egy közelítő, valós-tér renormálási sémát, amely az egydimenziós modell paramágneses fázisában és kritikus pontjában alkalmazható. Az eredmények szerint a paramágneses fázisban Griffiths-effektus lép fel, a kritikus ponti viselkedést pedig egy végesen rendezetlen fixpont írja le. Egy – ugyanebbe az univerzalitási osztályba tartozó – járványterjedési modell, a hosszú hatótávolságú, rendezetlen kontakt-folyamat Monte Carlo szimulációja az elméleti eredményekkel összhangban álló viselkedést mutat.

Az utóbbi évek egyik legnagyobb tudományos eredménye a Higgs bozon felfedezése volt. A Higgs felelős az elemi részecskék tömegéért. A látható világegyetem tömegét azonban szinte kizárólag protonok és neutronok adják, melyek nem elemi részecskék. Ezek tömegének eredete jóval összetettebb, a Higgs csak egy kis részükért felelős. A részecskefizika standard modelljét alkotó három kölcsönhatás mindegyike hozzájárul a tömeghez. Az előadás áttekinti ezeket a járulékokat, összehasonlítja nagyságukat és bemutatja az erre vonatkozó legújabb tudományos eredményt: a neutron és proton tömegkülönbségének elméleti meghatározását.

Infrared (IR) singularities in massless gauge theories are known since the foundation of quantum field theories. The root of this problem can be tracked back to the very definition of these long-range interacting theories such as QED. We will briefly review the basics of QED: Lagrangian formalism, Feynman rules, etc... The IR catastrophe and its resolution by cancelling these divergences will be also discussed. The Bloch-Nordsieck model provides the IR limit of QED and in its framework all the radiative corrections to the electron propagator can be fully summed. However, perturbation theory does not provide the right tool for this operation: the exact Dyson-Schwinger (DS) equation needed to be solved with the aid of the Ward-Takahashi identities. Solving the DS equation at finite temperatures is also possible and will be presented in the talk.

Az időben oszcilláló külső potenciálok sok esetben szolgáltatják a lézertér jó modelljét. Periodikusan változó potenciális energia esetén matematikailag a Floquet-elmélet jelent hatékony módszert a különböző időfüggő kvantumos szórási folyamatok leírásához. Az előadásom során egy relativisztikus és egy nemrelativisztikus modellt fogok bemutatni. Modelljeinkben monoenergiás elektronhullámot tekintünk, amely az egyik esetben oszcilláló potenciálgáton szóródik [1], a másikban pedig kölcsönhat egy "kemény gömb"-bel, ahol a folyamat időfüggését intenzív lézertér jelenléte adja [2].

[1] L. Zs. Szabó, M. G. Benedict, A. Czirják and P. Földi, Phys. Rev. B 88, 075438 (2013); DOI: 10.1103/PhysRevB.88.075438
[2] S. Varró, L. Zs. Szabó and A. Czirják, Nucl. Instr. Meth. B. (2015) (in press); DOI: 10.1016/j.nimb.2015.10.064

Megmutatjuk, hogy szórási problémák egy tág osztályában a beeső síkhullám vonósugárként viselkedik, azaz, a szokásos sugárzási nyomás jelenségétől eltérően nem ellöki, hanem vonzó erőt fejt ki a szórócentrumra. A jelenség magyarázata, hogy a beeső hullám átalakul egy másik csatornában kifutó, nagyobb imulzussűrűségű hullámmá, ilymódon a szórócentrum mögött imulzustöbblet alakul ki a hullámtérben. Ez a vonsósugár vagy negatív sugárzási nyomás többcsatornás szórás esetén generikus. A jelenséget példákkal illusztrálom: kettőstörő közegben terjedő elektromágneses hullámok vékony, szintén kettőstörő lapon való áthaladásakor is fellép a jelenség, és mesterséges dielektrikumok esetében akár makroszkopikus is lehet. További példákat szolgáltat a lassú neutronok szóródása az XY modellel leírt anyag mágneses vortexein, vagy nehéz barionok könnyű leptonokká való konverziója kozmikus húrokon való szóródás során.

Az előadás anyagát képező cikk:
Forgács, Lukács, Romanczukiewicz, Phys Rev D88, 125007 (2013).

Előadásomban a kvantum-optika nagyenergiás fizikai alkalmazásainak néhány érdekességét mutatom be, különös tekintettel a femtométeres hosszskálán és a femtométer/c időskálán történő távolság és időmérések módszertani hátterére. Felvillantom a Glauber-féle többszörös diffraktív szóráselmélet alkalmazásait, a Hanbury Brown - Twiss effektuson alapuló femtoszkópiai mérések érdekességeit és bemutatok egy új, általunk kifejlesztett modell-független korrelációs analízis módszert is, amelynek lehetséges alkalmazási területei jóval túlmutathatnak a részecske- és magfizikán.

Hivatkozások:
F. Nemes, T. Csörgő, M. Csanád, http://arxiv.org/abs/1505.01415.
T. Csörgő, R. J. Glauber, F. Nemes, http://arxiv.org/abs/1311.2308.
T. Csörgő, T. Novák, H.C. Eggers and M. de Kock, http://arxiv.org/abs/1206.1680.
és előkészületben lévő, konferenciákon már bemutatott eredmények

Az előadásomban áttekintésre kerül a forgó testek mozgásának leírása az általános relativitáselméletben. Ismert, hogy a forgó próba részecskére vonatkozó Mathisson-Papapetrou egyenletek nem zártak, így szükség van valamilyen ún. spin koordináta feltétel választásra (spin supplementary condition, a továbbiakban SSC). Az SSC-kből az irodalomban 4-féle létezik, melyek közül 2 ekvivalens a (spinben lineáris) spin-pálya kölcsönhatásra. A továbbiakban a kompakt forgó kettősre vonatkozó gyorsulásfüggő Lagrange-formalizmus kerül tárgyalásra. Példákon keresztül bemutatásra kerül az általánosított Lagrange-függvény kezelhetősége, illetve az ún. Ostrogradsky-féle hamiltoni mechanika, az egyes SSC-kre. Végül tárgyalni fogom a kettősre vonatkozó mozgásállandók, illetve a gravitációs sugárzás által a megfigyelhető mennyiségek közül melyek függenek az SSC-ktől.

Folytatható-e a következő sorozat: valós számok, komplex számok, kvaterniók? Bár a kvaterniók már csak ferdetestet alkotnak, a válasz a kérdésre mégis igen. A következő lépés, a Cayley féle októniók, amik egy nem kommutatív divizióalgebrát alkotnak. Egy másik érdekes kérdés, hogy mi ezen algebrák automorfizmus csoportja. Előadásomban bemutatom az októniókat is előállító általános konstrukciót, továbbá megvizsgáljuk az októniók automorfizmus csoportját, a G₂ Lie csoportot, illetve annak topológiáját is. Az idő függvényében a G₂ csoport egy másik nézőpontját is bemutatom, amely a bizonyos fizikai elméletekben jelentős G₂ sokaságok definíciójához vezet.

Egy elegáns számítógép szimulációs módszert mutatunk be, amely jól használható felületeken elkent vékony és viszkózus folyadékrétegek visszahúzódási dinamikájának tanulmányozására [1]. Módszerünk egy molekuláris dinamika tipusú megközelítés, melyben a folyadék hármasvonala (felület-levegő-folyadék találkozási tartománya) diszkretizált, és a diszkretizálást meghatározó karakterisztikus pontok mozgásegyenleteit integráljuk (1. Ábra). A módszer hatékonyságát és alkalmazhatóságát egy inhomogén felületre alkalmazott tüzőerőkkel müködő modellen keresztül mutatjuk be [2,3]. Modellünk kétparaméteres állapotterében feltérképezzük a hármasvonal dinamkáját és topologiáját jellemző rendparamétereket. Modellünkben és szimulációs módszerünkben megengedjük a felület felszakadását, szigetek kialkulását és a hármasvonal komplex összeesését. Újfajta kinetikus fázisátalakulás jelenlétére [4,5] utaló eredményeket mutatunk be, melynek eredményeképp nemtriviális kollektív viselkedés tapasztalható bizonyos paraméter tartományban. Ezen tartományban levő kritikus érdesedés a felületi inhomogenitás és a kapilláris erők versengésének tulajdonítható.

1. Ábra: A folyadék hármasvonalának a diszkretizálása és a molekuláris dinamika megközelítés alapötlete.

Kulcsszavak: felületi nedvesítés, molekuláris dinamika szimuláció, dinamikus fázisátalakulás, kritikus viselkedés

Bibliográfia:
[1] B. Tyukodi, Y. Brechet, Z. Neda, Phys. Rev. E, 90, 052404 (2014)
[2] P. G. Gennes; Rev. Mod. Phys. 57, 827 (1985)
[3] J.F Joanny, P. G. de Gennes; J. Chem. Phys. 81, 552 (1984)
[4] A. Tanguy, M. Gounelle, S. Roux; Phys. Rev. E 58, 1577 (1998)
[5] S. Krishnamurthy, A. Tanguy, S. Roux; Eur. Phys. J. B 15, 149 (2000)

Az Y és T rendszerek érdekes differencia egyenletek, amelyek az elméleti fizika számos területén megjelennek. Ezek között vannak rács statisztikus modellek, az integrálható modellek termodinamikáját leíró TBA egyenletek és újabban az AdS/CFT korrespondencia spektrális problémája. Megmutatjuk, hogy ezen rendszereket klasszikus rács Wess-Zumino-Witten modellekként is lehet interpretálni. Ez az interpretáció hasznosnak bizonyul ezen rendszerek vizsgálatában, például periodicitási tulajdonságuk bizonyításánál.

After presenting a brief summary of the mathematical background, I explain how Hamiltonian reduction can be used to project a trivially integrable system on the Heisenberg double of SU(n,n), to obtain a system of Ruijsenaars type on a suitable quotient space. This system possesses BC(n) symmetry and is shown to be equivalent to the standard three-parameter BC(n) hyperbolic Sutherland model in the cotangent bundle limit.

The notion of complete integrability stems from the formalism of Hamiltonian mechanics of the XIX century and the search for concrete examples was a kind of exotic sport. The situation changed drastically in the second half of the last century, when realistic examples of completely integrable infinite dimensional Hamiltonian systems were constructed. The first example of the Korteveg-de Vries equation was followed by many other systems with natural quantization. Spin chains gave another line of development. This culminated in the formulation of a general theory of integrable systems, based on the Yang-Baxter equation and Bethe Ansatz. New applications in recent times appeared in relativistic quantum field theory. I shall give an elementary survey of this development.

A kvantum információelmélet és a kvantum-összefonódás vizsgálata mai napig nagy kihívást jelent az elméleti fizikusok számára. A kevert állapoti anholonómiák vizsgálata során alkalmazott matematikai módszerek hasonlóak kvantum információelmélet és a kvantumos összefonódás leírásánál használtakkal, így a kevert állapoti geometriai fázis fizikájának és matematikájának megértése lehetőséget ad a témák közötti átfedés feltérképezésére. Megvizsgáljuk, hogy a nyalábstruktúra, mint absztrakt matematikai elgondolás hogyan fordul elő kvantummechanikai problémákban. A fizikusok által jól ismert Berry fázis egy általánosítását összehasonlítottuk a kevert állapotokon definiált fázissal, amelyek, mint kiderült, egymással egyenértékűek megfelelő megszorítással. Jelenleg is folyik a munka afelé, hogy a két qubit összefonódást magasabb dimenziós rendszerekbe beágyazzuk. Reményeink szerint a beágyazás által a két részrendszerre vonatkozó egyenletek ebben az esetben egy egyszerűbb formalizmusra vezetnek, ezáltal közelebb kerülhetünk a probléma mélyebb megértéséhez.

Az elmúlt évben az Einstein-féle gravitációelmélet dinamikai szabadsági fokainak egy új, geometriailag kitüntetett ábrázolását vezettük be. Ezzel párhuzamosan egy olyan módszert dolgoztunk ki, amely lehetővé teszi a megoldások szignatúrától független szimultán vizsgálhatóságát. Ezeket alkalmazva az előadásomban először az Einstein-egyenletek különféle alrendszereinek belső kapcsolataira mutatunk rá, melyek alapvető fontossággal bírnak az evolúciós probléma megoldása során. Ezt követően a kezdőadatok kiválasztásban főszerepet játszó kényszeregyenletek kauzális jellegét érintő meglepő lehetőségre mutatunk rá.

Topological excitations keep fascinating physicists since many decades. While individual vortices and solitons emerge and have been observed in many areas of physics, their most intriguing higher dimensional topological relatives, skyrmions and magnetic monopoles remained mostly elusive. We propose that loading a three-component nematic superfluid such as 23Na into a deep optical lattice and thereby creating an insulating core, one can create topologically stable skyrmion textures and investigate their properties in detail. We show furthermore that the spectrum of the excitations of the superfluid and their quantum numbers change dramatically in the presence of the skyrmion, and they reflect the presence of a trapped monopole, as imposed by the skyrmion's topology. Signatures of the presence of the skyrmion in time of flight experiments as well as experimental protocols to create it will also be discussed [M. Kanász-Nagy, B. Dóra, E. A. Demler, and G. Zaránd, Scientific Reports 5, 7692 (2015)].

Mezoszkopikus szilárdtestfizikai rendszerekben számos rendhagyó elektromos transzportjelenség figyelhető meg. Egy példa az ún. Pauli-blokád: ha egy kettős kvantumdoton áramot akarunk átfolyatni, akkor bizonyos esetekben a töltések áthaladását meghiúsítják a Pauli-elv miatt fellépő kiválasztási szabályok. Az előadásban bemutatom a Pauli-blokádra vonatkozó első kísérleteket, az azokat leíró egyszerű modellt, és azt hogy a jelenség hogyan alkalmazható elektronspin-alapú kvantumbitek inicializálására és kiolvasására. Bemutatok egy Pauli-blokád kísérletet, ahol szén nanocsőben vizsgálták a jelenséget, és összehasonlítom a mért adatokat a saját elméleti eredményeinkkel. Az eredmények szerint a nanocsövön átfolyó áram jelentősen megváltozhat a külső mágneses tér kis változására. Ez elvileg módot ad arra hogy ezt a nanoszerkezetet finom térbeli felbontású és érzékeny mágnesestér-szenzorként használják, például egy inhomogén mágneses tér pásztázószondás feltérképezésére. Bemutatom ennek a javasolt eljárásnak a működési elvét, előnyeit és korlátait.

Az előadásban egy leegyszerűsített kétdimenziós forgó molekula modellt vizsgálunk. A tömegközéppont csak az apertúra szimmetriatengelye mentén mozoghat így a rés nem-triviális módon összefonja a transzlációs és a rotációs szabadsági fokot. A geometriai modell bonyolult peremfeltételű akadályon való két dimenziós kvantumos szórási problémára vezet. A stacionárius szórási problémát először közelítéseket alkalmazva analitikusan vizsgáljuk. Azután az analitikus eredmények ellenőrzésére a probléma Green-függvényének meghatározásán alapuló, numerikusan egzakt megoldást keresünk. Célunk nagy élettartamú rezonáns állapotok beazonosítása és a transzmissziós valószínűség energiafüggésének meghatározása.

Világunk négy alapvető kölcsönhatásának (erős, gyenge, elektromágneses és gravitációs) a relativitáselmélettel összhangban lévő kvantumos leírása csak részecskék kicserélődésével valósítható meg. Az elektromágneses kölcsönhatás során pl. fotonok, az erős esetén gluonok cserélődnek ki. De amíg a több fotonos folyamatok járuléka egyre kisebb, addig a több gluoncseréseké egyre nagyobb, lehetetlenné téve az erős folyamatok pontos számítását. A gravitációs kölcsönhatásnak máig sincs elfogadható kvantumos leírása. A mérték-húr dualitás egyszerre ad reményt a kvantumgravitáció megértésére és az erősen csatolt mértékelméletek dinamikájának leírására, hiszen a gravitációt is tartalmazó húrelméletet mértékelméleteknek felelteti meg. A megfeleltetés holografikus abban az értelemben, hogy a húrok anti de Sitter téren történő mozgása ekvivalens az anti de Sitter tér négydimenziós peremén létrejövő árnyékuk színes mértékkölcsönhatásával. A dualitás egy sejtés, mely az erősen kölcsönható mértékelméleteket klasszikus gravitációra, míg kvantumos húrelméletet perturbatív mértékelméletre képzi le. Előadásomban motiválom a holografikus sejtést, áttekintem az alátámasztására tett hatalmas erőfeszítéseket és összefoglalom a kutatás legújabb fejleményeit.

Haar Alfréd (1885–1933) a múlt század első felében – Riesz Frigyes mellett – a matematika legjelentősebb, nemzetközi hírű magyarországi képviselője volt. Harmincöt publikációjában [1] megjelent számos eredménye az elméleti fizikában is fontos szerepet játszik. Erre példaként említhetők a Sturm–Liouville-féle differenciálegyenletekhez kapcsolódó ortogonális függvényrendszerekre vonatkozó tételei [2a-b-c], amelyek a Schrödinger-féle hullámmechanika konkrét felhasználásának alapját képezik.

Előadásunkban kiemeljük a Haar-féle ortogonális függvényrendszert (Haar-wavelet,1909) [2], a több-dimenziós variációszámításban elért eredményeket (Haar-lemma,1922) [3], valamint az invariáns mérték megkonstruálását lokálisan kompakt topológikus csoportokon (Haar-mérték, 1932) [4]. Ez utóbbi eredmény döntő jelentőségű volt a Hilbert-féle ötödik probléma (1900) megoldásában. Időközben a Haar-mérték az absztrakt harmonikus analízis nélkülözhetetlen eszközévé vált [5], és alkalmazást nyert a kvantumelméletben is [6]. Megemlítjük még, hogy Haar a lineáris egyenlőtlenség-rendszerekre vonatkozó Farkas-féle tételt (1901) általánosította inhomogén rendszerekre [7], s mint az ma már jól ismert, Farkas Gyula idevágó eredményei a modern optimalizáláselmélet kialakulásában alapvető szerepet játszottak [8]. Megkíséreljük e korszakalkotó eredmények hatását és utóéletét érzékeltetni. Elsősorban a Haar-wavelet korai történetével és továbbfejlesztéséseivel foglalkozunk, amelyek az 1980-as évektől a jelanalízisben [9] és az információfeldolgozásban (pl. JPEG tömörítés) fontos szerepet kaptak.

Riesz 1911-ben, Haar 1912-ben kifejezetten Farkas Gyula közbenjárására került a kolozsvári egyetemre: „Ime Riesz Frigyes társunk már javában megkezdte itteni működését nagy lelkesedéssel a math. szeminárium körül is. ... Tegnap levelet kaptam Haartól. ... Egyébiránt Haar levele oly mély hazafias érzelmeket árul el, hogy mostmár nem is tartok attól, hogy ha egyszer haza kerül, elveszítjük a külföldnek. ...” [8]. Haar Alfrédnak a múlt századi magyar oktatás és tudományos közélet érdekében kifejtett tevékenysége is múlhatatlan jelentőségű. „Az első világháború után Erdélynek Magyarországtól való elcsatolása következtében az addigi kolozsvári egyetem tanárainak el kellett hagyniok e várost és előbb átmenetileg Budapesten, majd 1920-tól Szegeden folytatták működésüket. Haar Alfréd és Riesz Frigyes az új szegedi matematikai szemináriumot – amelyet később Bolyai Intézetnek neveztek el – hamarosan nemzetközi tekintélyű matematikai centrummá fejlesztették. … Egyetemi előadásainak tárgyát Haar leginkább az algebra számelmélet, analitikus geometria, mechanika, differenciálegyenletek, variációszámítás, folytonos csoportok elmélete területeiről választotta. Elsőrangú egyetemi előadó volt, előadásai világosságban, logikus felépítésben mintaszerűek voltak. …” Haar Alfrédtől könyv nem jelent meg. Azonban több igen gondosan megírt jegyzetet készített.... Noha ezek az egyetemi előadások sok eredeti részletet tartalmaznak, s mint egyetemi tankönyvek ma is beválnának, a jelen összegyűjtött munkák közé való felvételükről már csak terjedelmük miatt sem lehetett szó.” (Szőkefalvi-Nagy Béla, Bevezetés, Haar Alfréd rövid életrajza [1]). Előadásunkban e nem publikált egyetemi jegyzetekből is mutatunk be (tudomásunk szerint a szélesebb tudományos közönség számára mindezidáig ismeretlen) szemelvényeket.

Irodalom

[1] Haar A, Összegyűjtött Munkái. Sajtó alá rendezte Szőkefalvi-Nagy Béla (Akadémia Kiadó, Budapest, 1959).

[2a] Haar A, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensyteme (Inaugural Dissertation zur Erlangung der Doktorwürde der hohen philosophischen Fakultät der Georg-August-Universität zu Göttingen, vorgelegt von Alfred Haar aus Budapest). 1909, 1-49.
[2b] Haar A, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensyteme (Erste Mitteilung). Mathematische Annalen 69, 331-371 (1910).
[2c] Haar A, Zweite Mitteilung; ibid. 71, 38-53 (1911)

[3a] Haar A, Über die Variation der Doppelintegrale. Journal für reine und angewandte Math. 149, 1-18 (1919).
[3b] Haar A, Über eine Verallgemeinerung de Du Bois-Reymond’schen Lemmas. Acta Sci. Mathematicarum Szeged 1, 33-38 (1922).
[3c] Haar A, Über das Plateausche Problem. Math. Ann. 97, 127-158 (1926)

[4a] Haar A, Székfoglaló értekezés a Magyar Tudományos Akadémián (1932. Április 18): A folytonos csoportok elméletéről. Mathematikai és Természettudományi Értesítő, Budapest 49, 287-307 (1932).
[4b] Haar A, Der Maßbegriff in der Theorie der Kontinuierlichen Gruppen. Annals of Mathematics (2) 34, 147-169 (1933)

[5a] Hewitt E and Ross K A, Abstract Harmonic Analysis I (Vol. I: Structure of Topological Groups, Integration Theory, Group Representations) (Springer-Verlag, New York, Inc., 1963, 1979).
[5b] Hewitt E and Ross K A, Abstract Harmonic Analysis II (Vol. II: Structure and Analysis for Compact Groups, Analysis on Locally Compact Abelian Groups) (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1970)

[6] Mackey G W, The significance of invariant measures for harmonic analysis. Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, 49., Budapest, Hungary, 1985. In Szabados J and Tandori K (editors), Alfréd Haar Memorial Conference Vol. II. (North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1987) pp. 551-608.

[7] Haar A, A lineáris egyenlőtlenségekről. Mathematikai és Természettudományi Értesítő, Budapest 36, 279-296 (1918). Über lineare Ungleichungen. Acta Scientiarum Mathematicarum Szeged 2, 1-14 (1924).

[8] Prékopa András, Farkas Gyula élete és munkásságának jelentősége az optimalizálás elméletében. In Martinás Katalin (Szerk.), Farkas Gyula élete és munkássága. (ELFT Termodinamikai Szakcsoport, Budapest, 2003) pp 9-26.

[9] Chui Charles K (Editor), WAVELETS : A Tutorial in Theory and Applications. (Academic Press, Inc., Boston, San Diego, 1992)

A mezoszkopikus rendszerek a makro- és a mikrovilág hátárán elhelyezkedő objektumok. Ebbe a családba tartoznak a nanostruktúrák, melyek elektromos és mágneses tulajdonságait a kvantumos interferencia jelenségek határozzák meg. Kiemelkedő jelentőséggel bírnak a félvezető heterostruktúrák, melyekben kétdimenziós elektrongáz jön létre, amely igen magas mozgékonysággal rendelkező elektronokat tartalmaz.

Amennyiben a lézertérhez hasonlóan, időben alternáló Rashba-féle spin-pálya csatolás van jelen a nanorendszerben, akkor egy hatékony matematikai eszköztárat biztosít az ún. Floquet-elmélet. Ezzel megmutatható, hogy az ilyen struktúrák alkalmasak felharmonikus frekvenciák gerjesztésére.

A szeminárium keretében azokat az eredményeket mutatom be, melyek az időfüggő spin-pálya kölcsönhatás jelenlétében vizsgált transzportfolyamatok elméleti vizsgálatai során születtek.

The purpose of the talk is to explain the basics of the bi-Hamiltonian theory of integrable systems. After an introductory part devoted to presenting the main concepts, we will describe two concrete examples. Our first example will be the finite-dimensional Toda lattice. The second example is infinite-dimensional, namely the celebrated Korteweg-de Vries equation. This nonlinear partial differential equation played a pivotal role in the whole theory. Both examples will illustrate how the bi-Hamiltonian approach allows to construct a complete set of conserved quantities and may be used to find solutions of the pertinent evolution equations.

Az innovációk, termékek, vagy alkalmazások terjedését értelmezhetjük diffúziós folyamatokként, melyeket erősen befolyásolnak a szociális kölcsönhatások és a külső média hatásai. Ezeknek a hatásoknak a jelenléte régóta elfogadott, de jellemzésük és kísérleti megerősítésük mindmáig váratott magára megfelelő adatok hiányában. Munkánk során célunk a kérdéses folyamatok megértése és modellezése volt, az egyik legnagyobb elérhető adathalmaz, a Skype szociális hálózatának és terjedésének elemzésével. Sikerült bizonyítanunk korábbi feltételezéseket, miszerint a szociális terjedési folyamatok leírhatóak konstans terjedési rátákkal és olyan lineárisan növekvő szociális nyomással, ami az egyén közvetlen környezetéből érkezik. A megfigyelt mechanizmusokat egy dinamikus diffúziós modellben egyesítettük, ami alkalmasnak bizonyult arra, hogy előre jelezze középtávon az online alkalmazás terjedését különböző országokban, és rámutatott arra, hogyan függ össze a terjedés dinamikája és az adott ország gazdasági fejlettsége.

1932-ben Wigner állította, hogy a tiszta állapotok egy olyan bijektív transzformációja, mely megőrzi az átmenetvalószínűségeket, mindig egy unitér vagy egy antiunitér operátor által megvalósított leképezés. Ennek a tételnek az első igazán precíz bizonyításait 1962-ben U. Uhlhorn, 1963-ban J. A. Lomont és P. Mendelson, illetve 1964-ben V. Bargmann adták, egymástól függetlenül. Ezek a bizonyítások ugyan követhetőek, de eléggé nehezen. Azóta rengeteg bizonyítás született Wigner tételére, s annak nem-bijektív verziójára is, illetve sok irányban általánosították ezt a híres, kvantummechanikában igen fontos tételt. Az első kristálytiszta bizonyítás egy magyar matematikus, Molnár Lajos nevéhez fűződik, 1996-ból. Ugyanakkor a bizonyítás erős matematikai tételeket használ fel, tehát ilyen értelemben nem mondható eleminek.

Az előadáson részletesen szeretnék ismertetni egy abszolút elemi (csupán alap Hilbert térbeli fogalmakat használó), és nagyon rövid bizonyítást, mely a Wigner tétel legáltalánosabb verziójára megy (nem tesszük fel a bijektivitást, és a Hilbert tér dimenziójáról sem teszünk fel semmit). Minden szükséges definíciót ismertetni fogok. Ez a bizonyítás 2014 februárjában született, és egy fogalom, az úgynevezett "metrikus rezolvens halmaz" inspirálta.

Ha marad idő, szeretnék kitérni a bijektív Wigner tétel Uhlhorn féle általánosítására is, illetve a projektív geometria alaptételére, mellyel tulajdonképpen be lehet látni az Uhlhorn tételt. Az Uhlhorn és Wigner tételek egyéb általánosítási lehetőségeiről is szót szeretnék ejteni.

A kvantummechanika egyik korai diadala volt az elektromos vezetés sávelmélete (1928, Bloch), a legegyszerűbb modell, ami megmagyarázza, hogy egyes kristályok miért szigetelők, míg mások miért jó vezetők. Itt az elektronok közötti kölcsönhatást elhanyagoljuk, így egy bonyolult kvantummechanikai soktestprobléma helyett csupán egyetlen elektronnak egy az atomtörzsekből jövő periodikus potenciálban való mozgását kell egy egyrészecskés Hamilton-operátorral leírnunk. Az elmélet szépen reprodukálja egy minta tömbi részében lezajló jelenségeket.

A kvantumos Hall-effektus felfedezése (1982) után fordult a fizikusok érdeklődése az elektromosan szigetelő minták felületén megjelenő tökéletesen vezető "élállapotok" felé. Ezek létezése, ill. számuk, a tömbi rész sávelméleti leírásában megjelenő topologikus invariánsokkal adható meg, ez a tömb-él korrespondancia. Ezen effektusok szisztematikus felderítésének eredménye a "topologikus szigetelők periodusos rendszere" (Kitaev, 2009).

Az előadásban a legegyszerűbb topologikus szigetelőről lesz szó, egy egydimenziós kvantumdrótról, ami alrácsszimmetriával (királis szimmetria) bír. Konkrét példa a poliacetilén Su-Schrieffer-Heeger modellje. Itt a tömbi topologikus invariáns az alrács-polarizációnak feleltethető meg, az élállapotok pedig a drót végein, az egyik alrácson található 0 energiás kötött állapotok. Megmutatom, mi a szemléletes kapcsolat a tömbi invariáns és az élállapotok között. Végül megmutatom, hogyan általánosítottuk ezt az elméletet a periodikusan gerjesztett esetre. Szemben a naív elvárással, a tömbi invariánsok ebben az esetben nem kaphatók meg egy effektív (Floquet-)Hamilton-operátorból: az invariánsok értékei függnek a gerjesztés részleteitől.

Egy többrészű rendszer tiszta állapotának redukált sűrűségmátrixai (marginálisai) lehetnek kevertek, így felmerül a kérdés, hogy az egyes marginálisok spektruma tetszőleges-e, vagy együtt valamilyen feltételek vonatkoznak rájuk – ez a kvantum marginális probléma. Ha kikötjük, hogy a rendszer állapota egy rögzített összefonódási osztályban legyen, az további megszorításokat adhat a lehetséges spektrumokra. Az előadásban arról lesz szó, hogy milyen jellegűek ezek a megszorítások és hogyan lehet (bizonyos esetekben) meghatározni azokat.

A fizika egyik leghangsúlyosabb paradigmája az Univerzum 70%-át kitevő sötét energia. Az kozmológiai állandó egyszerűsítő feltevése ellentmondásokhoz vezet. Előadásom első részében egy dinamikai sötét energia modellt vázolok fel, mely az összes mérvadó megfigyelési tesztet teljesíti.
Előadásom második részében a fekete lyukakra összpontosítok. Az Univerzum legrejtélyesebb objektumai közé sorolható “égitestekről” ma már tudjuk, hogy minden galaxis központjában megtalálhatók. Bár definíció szerint láthatatlanok, jelenségek egész sora bizonyítja létezésüket. Ezek közül a gravitációs lencsézést ismertetem részletesebben. A galaxisok összeolvadása során a központi szupermasszív fekete lyukak is egyesülnek, a jelenséget gravitációs sugárzás kibocsátása kíséri. A gravitációs sugárzás közvetlen kimutatása a közeljövőben várható, azonban a gravitációs sugárzáson alapuló csillagászat egyik fő nehézsége a paraméterek közötti komoly degeneráció lesz. Ezt elektromágneses kísérőjelenségek megfigyelésével lehet feloldani. Ilyen megfigyeléseket szolgáltat többek között a rádiócsillagászat, az ún. X-alakú rádiógalaxisok jelentős része egymásbaolvadó fekete lyuk kettősökkel modellezhető. Végül röviden ismertetem egy kiválasztott jet adatainak elemzését, melyből elsőként mutattuk ki a jetalapnál elhelyezkedő fekete lyukspinjét.

Haar Alfréd (1885–1933) a múlt század első felében – Riesz Frigyes mellett – a matematika legjelentősebb, nemzetközi hírű magyarországi képviselője volt. Harmincöt publikációjában [1] megjelent számos eredménye az elméleti fizikában is fontos szerepet játszik. Erre példaként említhetők a Sturm–Liouville-féle differenciálegyenletekhez kapcsolódó ortogonális függvényrendszerekre vonatkozó tételei [2a-b-c], amelyek a Schrödinger-féle hullámmechanika konkrét felhasználásának alapját képezik.

Előadásunkban kiemeljük a Haar-féle ortogonális függvényrendszert (Haar-wavelet,1909) [2], a több-dimenziós variációszámításban elért eredményeket (Haar-lemma,1922) [3], valamint az invariáns mérték megkonstruálását lokálisan kompakt topológikus csoportokon (Haar-mérték, 1932) [4]. Ez utóbbi eredmény döntő jelentőségű volt a Hilbert-féle ötödik probléma (1900) megoldásában. Időközben a Haar-mérték az absztrakt harmonikus analízis nélkülözhetetlen eszközévé vált [5], és alkalmazást nyert a kvantumelméletben is [6]. Megemlítjük még, hogy Haar a lineáris egyenlőtlenség-rendszerekre vonatkozó Farkas-féle tételt (1901) általánosította inhomogén rendszerekre [7], s mint az ma már jól ismert, Farkas Gyula idevágó eredményei a modern optimalizáláselmélet kialakulásában alapvető szerepet játszottak [8]. Megkíséreljük e korszakalkotó eredmények hatását és utóéletét érzékeltetni. Elsősorban a Haar-wavelet korai történetével és továbbfejlesztéséseivel foglalkozunk, amelyek az 1980-as évektől a jelanalízisben [9] és az információfeldolgozásban (pl. JPEG tömörítés) fontos szerepet kaptak.

Riesz 1911-ben, Haar 1912-ben kifejezetten Farkas Gyula közbenjárására került a kolozsvári egyetemre: „Ime Riesz Frigyes társunk már javában megkezdte itteni működését nagy lelkesedéssel a math. szeminárium körül is. ... Tegnap levelet kaptam Haartól. ... Egyébiránt Haar levele oly mély hazafias érzelmeket árul el, hogy mostmár nem is tartok attól, hogy ha egyszer haza kerül, elveszítjük a külföldnek. ...” [8]. Haar Alfrédnak a múlt századi magyar oktatás és tudományos közélet érdekében kifejtett tevékenysége is múlhatatlan jelentőségű. „Az első világháború után Erdélynek Magyarországtól való elcsatolása következtében az addigi kolozsvári egyetem tanárainak el kellett hagyniok e várost és előbb átmenetileg Budapesten, majd 1920-tól Szegeden folytatták működésüket. Haar Alfréd és Riesz Frigyes az új szegedi matematikai szemináriumot – amelyet később Bolyai Intézetnek neveztek el – hamarosan nemzetközi tekintélyű matematikai centrummá fejlesztették. … Egyetemi előadásainak tárgyát Haar leginkább az algebra számelmélet, analitikus geometria, mechanika, differenciálegyenletek, variációszámítás, folytonos csoportok elmélete területeiről választotta. Elsőrangú egyetemi előadó volt, előadásai világosságban, logikus felépítésben mintaszerűek voltak. …” Haar Alfrédtől könyv nem jelent meg. Azonban több igen gondosan megírt jegyzetet készített.... Noha ezek az egyetemi előadások sok eredeti részletet tartalmaznak, s mint egyetemi tankönyvek ma is beválnának, a jelen összegyűjtött munkák közé való felvételükről már csak terjedelmük miatt sem lehetett szó.” (Szőkefalvi-Nagy Béla, Bevezetés, Haar Alfréd rövid életrajza [1]). Előadásunkban e nem publikált egyetemi jegyzetekből is mutatunk be (tudomásunk szerint a szélesebb tudományos közönség számára mindezidáig ismeretlen) szemelvényeket.

Irodalom

[1] Haar A, Összegyűjtött Munkái. Sajtó alá rendezte Szőkefalvi-Nagy Béla (Akadémia Kiadó, Budapest, 1959).

[2a] Haar A, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensyteme (Inaugural Dissertation zur Erlangung der Doktorwürde der hohen philosophischen Fakultät der Georg-August-Universität zu Göttingen, vorgelegt von Alfred Haar aus Budapest). 1909, 1-49.
[2b] Haar A, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensyteme (Erste Mitteilung). Mathematische Annalen 69, 331-371 (1910).
[2c] Haar A, Zweite Mitteilung; ibid. 71, 38-53 (1911)

[3a] Haar A, Über die Variation der Doppelintegrale. Journal für reine und angewandte Math. 149, 1-18 (1919).
[3b] Haar A, Über eine Verallgemeinerung de Du Bois-Reymond’schen Lemmas. Acta Sci. Mathematicarum Szeged 1, 33-38 (1922).
[3c] Haar A, Über das Plateausche Problem. Math. Ann. 97, 127-158 (1926)

[4a] Haar A, Székfoglaló értekezés a Magyar Tudományos Akadémián (1932. Április 18): A folytonos csoportok elméletéről. Mathematikai és Természettudományi Értesítő, Budapest 49, 287-307 (1932).
[4b] Haar A, Der Maßbegriff in der Theorie der Kontinuierlichen Gruppen. Annals of Mathematics (2) 34, 147-169 (1933)

[5a] Hewitt E and Ross K A, Abstract Harmonic Analysis I (Vol. I: Structure of Topological Groups, Integration Theory, Group Representations) (Springer-Verlag, New York, Inc., 1963, 1979).
[5b] Hewitt E and Ross K A, Abstract Harmonic Analysis II (Vol. II: Structure and Analysis for Compact Groups, Analysis on Locally Compact Abelian Groups) (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1970)

[6] Mackey G W, The significance of invariant measures for harmonic analysis. Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, 49., Budapest, Hungary, 1985. In Szabados J and Tandori K (editors), Alfréd Haar Memorial Conference Vol. II. (North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1987) pp. 551-608.

[7] Haar A, A lineáris egyenlőtlenségekről. Mathematikai és Természettudományi Értesítő, Budapest 36, 279-296 (1918). Über lineare Ungleichungen. Acta Scientiarum Mathematicarum Szeged 2, 1-14 (1924).

[8] Prékopa András, Farkas Gyula élete és munkásságának jelentősége az optimalizálás elméletében. In Martinás Katalin (Szerk.), Farkas Gyula élete és munkássága. (ELFT Termodinamikai Szakcsoport, Budapest, 2003) pp 9-26.

[9] Chui Charles K (Editor), WAVELETS : A Tutorial in Theory and Applications. (Academic Press, Inc., Boston, San Diego, 1992)

A másodrendű fázisátalakulások vizsgálata során az egyik nagy előrelépést jelentette, amikor sikerült találni egzaktul kezelhető modellt, amelyen tanulmányozható ez az átalakulás. Az első ilyen modell a kétdimenziós klasszikus (és a vele ekvivalens egydimenziós kvantumos) Ising-modell volt. Ezen modellek azóta is kiterjedt vizsgálatok tárgyát képezik. Áttekintjük alapvető tulajdonságaikat, és a lokális kvenccsel (paraméterek hirtelen helyi változtatásával) kapcsolatos korábbi eredményeket. Egy speciális lokális kvenccsel kapcsolatban ismertetem saját eredményeinket.

Az utóbbi időben a kvantumos összefonódottságot mint egy olyan új erőforrást tekintik melynek segítségével javunkra fordíthatjuk a kvantumos világ furcsaságait. Ahhoz, hogy ezt megtehessük osztályoznunk kell tudni valamilyen szempontok alapján ennek az új erőforrásnak a különböző típusait. Meglepő módon a megkülönböztethetetlen részrendszerekkel bíró rendszerek összefonódottsági típusai a megkülönböztethetetlen elemekből álló fermionikus rendszerek összefonódottsági típusaiba ágyazhatók. Egyszerű rendszerekre ez az eljárás érdekes módon a matematikai fizika bizonyos, több mint száz éves múltra visszatekintő, klasszikus eredményeivel hozható kapcsolatba. Ezek az eredmények - a fizikában ezidáig csak egzotikus alkalmazásokban megjelenő - kivételes Lie-csoportok geometriájával is kapcsolatosak. Az előadáson megkíséreljük ennek az érdekes kapcsolatnak a bemutatását.

A kvantumos bolyongás mára úgy vonult be a tudományos köztudatba, mint egy kísérletileg könnyen megvalósítható, de mégis változatos, összetett jelenségeket produkáló unitér időfejlődési modell. Az egyik ilyen jelenség a dinamikai lokalizáció. Előadásomban áttekintem az eddig elért elméleti és kísérleti eredményeket az egydimenziós kvantumos bolyongást illetően. Ezt követően térek rá a kétdimenziós esetre vonatkozó elméleti eredményeinkre, és egy lehetséges kísérleti megvalósításra.

The Calogero-Moser systems are integrable $N$-particle systems that are connected to a great many subfields of pure and applied mathematics, and that also find applications in various areas of physics. In this lecture we aim to survey this class of systems and their manifold relations to other subjects. As an illustration, we sketch the connection of the relativistic Calogero-Moser systems to the solitons of the classical and quantum versions of the sine-Gordon equation $u_{tt}-u_{xx}=\sin(u)$.

Cérium és urán tartalmú vegyületekben gyakran találkozunk az elektronok tömegének anomális megnövekedésével. Erre magyarázat lehet az, hogy az f elektronok a Fermi-energia közelében keskeny sávot alkotnak. A legegyszerűbb modell, ami képes leírni az f és vezetési elektronokból is kialakuló állapotokat a periodikus Anderson-modell. Utóbbi időben kiderült, hogy egyes vegyületekben fontos szerepe lehet a vezetési és f elektronok közötti Coulomb-kölcsönhatásnak. Az előadásban először áttekintjük az irodalmi eredményeket, majd a saját eredmények kerülnek bemutatásra, ahol a vezetési és f elektronok közötti kölcsönhatás szerepét vizsgáljuk átlagtérelmélettel és variációs módszerrel. Kiderül, hogy ezen kölcsönhatás újfajta kritikus viselkedés megjelenését okozhatja.

Rövid történeti áttekintés és a Currie ‒ Jordan ‒ Sudarshan-féle "no-interaction" tétel ismertetése után a lehetséges kiutakat tárgyaljuk: a Currie ‒ Hill-egyenletet, ill. kanonikus konstrukciókat, melyek között a legismertebbek a Ruijsenaars ‒ Schneider-féle modellek 1 + 1 dimenziós téridőben.

Sötét energia modellek célja magyarázatot adni a világegyetem késői gyorsuló tágulására. A világegyetem tágulásának gyorsuló tendenciáját eredetileg az Ia típusú szupernóva-megfigyelésekből származtatott luminozitás-vöröseltolódás reláció alapján fedezték fel, azóta pedig további csillagászati megfigyelések is alátámasztották azt (kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás anizotrópiáinak szögeloszlása, barion akusztikus oszcillációk). Jelenlegi tudásunk szerint a világegyetemben található anyag mintegy 26%-át nem világító (sötét) anyag, míg 70%-át sötét energia alkotja. Az előadásban röviden kitérek a ΛCDM modellre, a kozmológiai modellek szupernova adatokkal való tesztelésére, a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzásra, a kozmológiai konstans problémára és bemutatok lehetséges sötét energia jelöltre egy skalármezőt. A tachion skalármező esetén tárgyalom a sík Friedmann univerzum időfejlődését, a szupernova adatokkal jól illeszkedő paraméterek esetén pedig az univerzum lehetséges végállapotait. A modellben a trajektóriák egyes típusai a jövő evolúciójuk során ún. puha téridő szingularitásba fejlődnek, amelyek átjárhatósága szintén tárgyalásra kerül.

Atomi rendszerek kvantumállapotának adiabatikus kontrollálása negyed évszázada elméletileg és kísérletileg is kutatott terület. Kiterjedt közeg esetén az adiabatikus kontroll módszerekkel közvetlenül a közeg szuszceptibilitása befolyásolható. Ez által a közegben terjedő fényimpulzusok viselkedését szabályozni lehet. Az előadásomban bemutatom a témához kapcsolódó alapvető jelenségeket és röviden saját eredményeimet is.

Egy Liouville értelemben integrálható hamiltoni sokrészecske rendszer Ruijsenaars-duálisa annak szimplektomorf képe, amelyben a kiindulási rendszer hatásváltozóinak a duális részecske-pozíció változóit feleltetjük meg, és viszont. Az előadás célja a BC(n) típusú trigonometrikus Sutherland-rendszer és Ruijsenaars-duálisának jelenleg is folyó vizsgálatában eddig elért eredményeink bemutatása.

Az előadás során áttekintjük a hiperbolikus BC(n) Sutherland és a racionális BC(n) Ruijsenaars-Schneider-van Diejen modellekkel kapcsolatos eredményeinket. A modellek között fennálló hatás-szög dualitási reláció bemutatását követően a szóráselméletüket is ismertetjük.

A kvantummechanika matematikai leírásában természetes módon bukkannak fel az úgynevezett összefont (másnéven szeparálhatatlan) állapotok [1,2]. Ezzel szemben az ilyen állapotban lévő kvantumrendszerekben a részrendszereken mért fizikai mennyiségek korrelációinak megértése komoly kihívást jelent. Nevezetesen, ezek a korrelációk a részrendszerek közötti kvantumos kölcsönhatásokból adódnak, és nem modellezhetőek klasszikusan, hanem a természet alapvetően kvantumos viselkedésének megnyilvánulásai,amiről például a Bell-egyenlőtlenségek sérülése tanúskodik. Két kvantumrendszer összefonódásának leírása jól ismert, akkor is, ha ilyen rendszerek statisztikus sokaságát tekintjük (kevert állapotok), noha ekkor az állapot összefontságának eldöntése, illetve mennyiségi jellemzése nem könnyű feladat. A részrendszerek számának növelésével feltárul, hogy az összefonódás struktúrája sokkal gazdagabb, mint amit két részrendszer esetén láthatunk, és ez kevert állapotokra az eldöntést és a mennyiségi jellemzést még jobban megnehezíti. Az előadáson bemutatott eredmények ezekkel a kérdésekkel kapcsolatosak [4,3]. 1. Tiszta állapotban levő kvantumrendszerek esetén a részrendszerek parciális szeparáltsága könnyen megadható, azonban kevert állapotok esetén az összefonódás struktúrájának még ez a legdurvább közelítése sem volt megértett. Az előadásban bemutatjuk a kevert állapotok parciális szeparabilitási osztályozását több részrendszer esetére, mely a lehető legrészletesebb olyan osztályozás, ami csak a parciális szeparabilitási tulajdonságokat veszi figyelembe. 2. További eredmény, hogy megadunk egy olyan kritériumrendszert, mellyel elvben megállapítható egy kvantumállapotról, hogy melyik osztályba tartozik. 3. Ezt a kritériumrendszert felírjuk olyan mennyiségek segítségével is, melyek valamilyen szempontból mennyiségileg jellemzik az állapotban rejlő különböző típusú összefonódásokat.

Irodalom:

[1] I. Bengtsson, K. Zyczkowski - Geometry of quantum states: An introduction to quantum entanglement, Cambridge University Press, 2006.
[2] K. Horodecki et. al. - Quantum entanglement, Rev. Mod. Phys. 81 (2009), 865 (arXiv:quant-ph/0702225).
[3] Sz. Szalay - Quantum entanglement in finite-dimensional Hilbert spaces, arXiv:1302.4654 [quant-ph].
[4] Sz. Szalay, Z. Kökényesi - Partial separability revisited: Necessary and sufficient criteria, Phys. Rev. A 86, 032341 (2012) (arXiv:1206.6253 [quant-ph]).

A csapdázott atomi rendszerek, szilárdtestek, társadalmi és biológiai hálózatok, az internet, a neurális és jelátviteli hálózatok csupán néhány aktívan kutatott példa a gyakorlatban óriási jelentőségű soktestrendszerekre, ahol a rendszer inhomogenitásai, rendezetlensége döntő jelentőségű lehet. A szilárd testekben jelen lévő rácshibák, szennyezések éppúgy új jelenségekhez vezetnek, mint az emberek vagy éppen idegsejtek különbözősége a hálózatokon belül. A komplex hálózatokban nem csupán az egyes elemek térnek el egymástól, hanem a kölcsönhatásaik is rendkívül heterogének lehetnek. Napjaink egyik legérdekesebb kérdése a területen, hogy a mikroszkopikus szintű rendezetlenség milyen hatással lehet az egyes rendszerekben a makroszkopikus szintű, kollektív viselkedésre. A kérdés jelentősége messze túlmutat a klasszikus fizika határain, a pénzügyi tranzakciók hálózatán keresztül a bankrendszer stabilitásán át, a fehérje-fehérje kölcsönhatási hálózatok gyógyszertervezésben betöltött szerepén túl a számítógépes vírusok terjedésének megértéséig.

Az előadásban az alagút-effektus felfedezésének és kutatásának rövid történeti áttekintését adjuk, Hund (1927), Gamow (1928), Gurney és Condon (1928), Nordheim és Fowler (1928) munkáitól kezdve. Bemutatjuk az elektromágneses hullámterjedésnél és a kvantumos szűrésjelenségeknél fellépő fáziskésések és prekurzorok szerepét. Foglalkozunk a Klein-féle paradoxonnal (1929) is, és kitérünk az ún. Eisenbud-Wigner-időre (1948,1955) valamint a Büttiker-Landauer-féle (1982) áthaladási időre, aktuális kísérleti eredmények (a fotoemissziónál 2010-ben észlelt attoszekundumos időkésés) tükrében. Újabb vizsgálataink alapján, az alagút-effektust a "kvantum fázistéren" definiált Wigner-függvény felhasználásával is elemezzük.

Abból a feltételezésből kiindulva, hogy a sugárzási visszahatás harmadrendű Abraham-Lorentz-Dirac-egyenletének megoldásai közül egy másodrendű mozgásegyenlet választja ki a fizikailag reálisakat, három módszert szeretnék ismertetni a másodrendű egyenlet megtalálására. Két analitikusan végigszámolható esetben a három módszer ugyanarra az eredményre vezet. Mindkét rendszernél a sugárzási visszahatás egyrészt egy sebességgel arányos csillapítást indukál, másrészt csökkenti a külső erő nagyságát (vagy másként fogalmazva: egy véges pozitív tömegrenormálódást okoz).

Max Born rájött és Neumann János kőbe véste, hogy a kvantumelmélet jóslatai statisztikusak, a jóslattal egyidejűleg a hullámfüggvény pillanatszerű kollapszust szenved. Ennek az egylövetű kollapszusnak időbeli felbontására jöttek létre a stochasztikus Schrödinger egyenletek, mára sokféle alkalmazással. Van, aki futó és tervezett optikai, kvantumdotos, stb. kísérleteket ír le velük, van, aki új fizikát lát bennük. A szeminárium ebben a keretben, elemi lépésekben ismerteti a stochasztikus Schrödinger egyenleteket, nem rejtve az előadó saját eredményeit és benyomásait sem.